Wir betrachten wieder das Endtableau unseres einführenden Standardmaximumproblems:
Die markierten inneren Koeffizienten unter Nichtbasisvariablen heißen Substitutionskoeffizienten. Sie weisen die Veränderungen der optimalen Basislösung aus, die sich ergeben, wenn die Kapazitäten sich um eine Einheit erhöhen (vermindern).
Dies wird deutlich, wenn man die Restriktionsgleichungen nach den Basisvariablen auflöst:
Setzt man die Nichtbasisvariable y1 auf den suboptimalen Wert 1, so ergibt sich, ceteris paribus (u.a. behält dann y2 den Wert 0), dass x1 den Wert 7 erhält und x2 den Wert 4,5. Die Erhöhung von y1 auf 1 bedeutet, dass eine Kapazitätseinheit der Restriktion 1, hier eine Arbeitsstunde, ungenutzt bleibt.
Analog führt ein Wert von -1 für y1 zu x1 = 9 und x2 = 3,5. Dies sind die Werte für die Kontrollvariablen, wenn eine weitere Arbeitsstunde zur Verfügung stünde.
Die Veränderungen der Basisvariablen x1 und x2 aufgrund von Variationen von y2 werden entsprechend bestimmt.
Bemerkung:
Wie bei der Interpretation der Zielfunktionskoeffizienten ist diese Deutung der Substitutionskoeffizienten nur dann zulässig, wenn die Erweiterung der entsprechenden Kapazität nicht zu einer neuen Basis in der Lösung führt.
Somit gelten die obigen Überlegungen nur unter der Voraussetzung, dass es durch die Erweiterung der Kapazität einer Restriktion nicht dazu kommt, dass eine Nebenbedingung zur Engpassbedingung wird, die vorher noch über freie Kapazitäten verfügte.
Die folgende Tabelle stellt die optimalen Basislösungen des einführenden Standardmaximumproblems für den Fall von 24 resp. 25 Arbeitsstunden gegenüber.
Die markierten Änderungen der Basisvariablen sind bereits im Endtableau des Ausgangsproblems enthalten:
Der Koeffizient a13 = 1 bezieht sich auf die Basisvariable x2, weil x2 die Basisvariable der ersten Zeile ist (Position der Eins der Einheitsspalte). Der Wert 1 bedeutet, dass sich der Wert von x1 um 1 verringert, wenn die Nichtbasisvariable y1 den Wert 1 erhielte.
Analog ist a23 = - 0,5 im Zusammenhang mit x1 zu sehen. Bei y1 = 1 wäre x1 = 4 + 0,5 = 4,5 optimal.
Die Substitutionskoeffizienten bezüglich y2 werden entsprechend interpretiert.
Zusammenfassung:-
Die inneren Koeffizienten unter Nichtbasisvariablen geben an, um wie viel Einheiten sich, ceteris paribus, die Basisvariable, auf die sich der Koeffizient bezieht, verändert,
- wenn die Nichtbasisvariable den Wert 1 erhielte. Ist der Koeffizient positiv, dann sinkt der Wert der Basisvariablen. Ist er negativ, steigt der Wert der Basisvariablen.
- wenn die Nichtbasisvariable den Wert -1 erhielte. In diesem Fall ergeben sich entgegengesetzte Änderungsrichtung.
